Sifat pada Bilangan Bulat

  sifat-sifat penjumlahan pada bilangan bulat.

a. Sifat komutatif (pertukaran) pada penjumlahan.

    Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, berlaku:

    a + b = b + a

    Artinya, hasil penjumlahan dua bilangan bulat yang tempatnya dipertukarkan selalu sama.

b. Unsur identitas pada penjumlahan

    Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku:

    a + 0 = 0 + a = a

   Artinya, hasil penjumlahan suatu bilangan bulat dengan bilangan nol atau sebaliknya, akan menghasilkan bilangan itu sendiri.

    0 disebut unsur identitas (netral) pada penjumlahan.

c. Sifat asosiatif (pengelompokkan) pada penjumlahan.

    Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c berlaku:

    (a + b) + c = a + (b + c)

d. Sifat tertutup pada penjumlahan

    Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, jika a + b = c maka c juga bilangan bulat.

    Artinya, penjumlahan bilangan bulat selalu menghasilkan bilangan bulat juga.

e. Invers jumlah atau lawan suatu bilangan
    Lawan (invers jumlah) dari a adalah -a.
    Untuk sembarang bilangan bulat a selalu berlaku:
    a + (-a) = -a + a = 0
    Artinya, penjumlahan bilangan bulat dengan lawannya selalu menghasilkan bilangan nol.

v  sifat-sifat pengurangan pada bilangan bulat, adalah sebagai berikut:

a. Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, berlaku:

    a - b = a + (-b)

    Artinya, mengurangkan b dari a sama artinya dengan menambahkan lawan b pada a.

b. Pada operasi pengurangan tidak berlaku sifat komutatif dan asosiatif

    a - b tidak sama dengan b -c

    (a - b) - c tidak sama dengan a - (b - c)

c.  Sifat pengurangan bilangan nol (0)

     a - 0 = a

     0 - a = -a

     0 - 0 = 0

d. Sifat tertutup pada pengurangan
    Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, jika a-b = c, maka c bilangan bulat juga

v  Berikut adalah sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat:

1. Hasil perkalian dua bilangan bulat dilihat dari tanda bilangannya

    a. Hasil kali dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif.

        a x b = ab atau (+) x (+) = (+)

    b. Hasil kali bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat negatif.

        a x (-b) = -ab atau (+) x (=) = (-)

        Contoh: 4 x (-5) = -20

    c. Hasil kali bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif adalah bilangan bulat negatif.

        (-a) x b = -ab atau (-) x (+) = (-)

        Contoh: -3 x 6 = -18

    d. Hasil kali dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif

        (-a) x (-b) = ab atau (-) x (-) = (+)

        Contoh: (-5) x (-2) = 10

2. Hasil perkalian antara bilangan bulat dengan nol adalah nol

    Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku:

    a x 0 = 0 x a = 0

3. Unsur identitas pada perkalian

    Untuk setiap bilangan bulat a, selalu berlaku:

    a x 1 = 1 x a = a

   Artinya, hasil perkalian suatu bilangan bulat dengan 1 atau sebaliknya, akan menghasilkan bilangan itu sendiri.

    1 disebut unsur identitas (netral) pada perkalian.

4. Sifat komutatif (pertukaran) pada perkalian

    Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, berlaku:

    a x b = b x a

5. Sifat asosiatif (pengelompokkan) pada perkalian

    Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c, berlaku:

    (a x b) x c = a x (b x c)   ………………… bilangan bulat

6. Sifat distributif (penyebaran) pada perkalian

    a. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan

        Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c, berlaku:

        a x (b + c) = (a x b) + (a x c)

    b. Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan

        Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c, berlaku:

        a x (b - c) = (a x b) - (a x c)

7. Sifat tertutup pada perkalian

    Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, jika a x b = c, maka c juga bilangan bulat.

v  Berikut adalah sifat-sifat pembagian bilangan bulat, yaitu:

1. Pembagian adalah operasi kebalikan dari perkalian

             a : b = c <=> c x b = a

2.  Hasil pembagian dua bilangan bulat dilihat dari tanda bilangannya

    a. Hasil bagi dua bilangan bulat positif adalah bilangan bulat positif.

        (+) : (+) = (+)

   b. Hasil bagi bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif, atau sebaliknya adalah bilangan bulat negatif.

        (+) : (-) = (-) atau (-) : (+) = (-)

        Contoh: 8 : (-2) = -4

                     (-16) : 4 = -4

     c. Hasil bagi dua bilangan bulat negatif adalah bilangan bulat positif.

        (-) : (-) = (+)

        Contoh: (-18) : (-3) = 6

3. Pembagian dengan bilangan nol

    Untuk sembarang bilangan bulat a, maka:

    a : 0 tidak terdefinisikan

    0 : a = 0

4.  Pada operasi pembagian tidak berlaku sifat komutatif dan sifat asosiatif

    a : b tidak sama dengan b : a

    (a : b) : c tidak sama dengan a : (b : c)

    a, b, dan c adalah sembarang bilangan bulat dengan a, b, c bukan 0 dan 1.

    Contoh:

    1). 8 : 2 tidak sama dengan 2 : 8

            4   tidak sama dengan 1/4

    2). (16 : 4) : 2 tidak sama dengan 16 : (4 : 2)

               4 : 2     tidak sama dengan 16 : 2

                  2       tidak sama dengan 8

5.  Pembagian pada bilangan bulat tidak bersifat tertutup

    Untuk sembarang bilangan bulat a dan b, jika a : b = c, maka ada c yang bukan bilangan bulat.

    Contoh:

    3 : (-6) = - 1/2

    3 dan -6 adalah bilangan bulat, tetapi - 1/2 bukan bilangan bulat.