Sudut antara Dua Bidang

C. Sudut antara Dua Bidang

Kita telah ketahui bahwa kedudukan bidang terhadap bidang lain ada tiga kemungkinan, yaitu dua bidang yang saling berimpit, sejajar, dan berpotongan. Bagaimana mencari besar sudut yang dibentuk dua buah bidang?

Sekarang perhatikan gambar disamping.

Gambar di samping merupakan dua buah bidang yang saling berpotongan, di mana bidang ABCD saling berpotongan dengan bidang EFGH di garis g. Adapun cara menentukan sudut yang dibentuk oleh dua bidang ABCD dan bidang EFGH di atas adalah sebagai berikut.

• Membuat garis IJ yang tegak lurus dengan garis g dan berimpit dengan bidang ABCD serta berpotongan di titik M 
• Membuat garis LK yang tegak lurus juga dengan g dan  berimpit dengan garis EFGH serta bepotongan di titik  M 
• Sudut lancip yang dibentuk oleh garis IJ dan LK (sudut α) merupakan sudut yang dibentuk oleh dua bidangn tersebut.

Jadi, sudut antara dua bidang yang berpotongan merupakan sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan (sebuah garis pada bidang pertama dan sebuah garis lagi pada bidang yang lainnya), garis-garis itu tegak lurus terhadap garis potong antara kedua bidang tersebut. Bagaimana Anda masih bingung?

Jika Anda masih bingung, silahkan perhatikan contoh soal di bawah ini. Contoh soal di bawah ini merupakan penerapan sudut antara dua bidang yang saling berpotongan. 
Contoh Soal 

Latihan

Sudut antara Garis dan Bidang

B. Sudut antara Garis dan Bidang 

Kita telah ketahui bahwa kedudukan garis terhadap bidang dapat dibedakan menjadi tiga yakni: garis terletak pada bidang, garis sejajar bidang, dan garis memotong (menembus) bidang. Bagaimana cara mencari besar sudut antara garis dan bidang?

Sekarang perhatikan gambar di samping.
Maka sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang yang saling sejajar dan saling berimpit adalah 0°.

 

Pada gambar di bawah ini merupakan sebuah garis g yang menembus bidang ABCD di titik O.

Proyeksi gari g akan membentuk garis EF yang berimpit dan sejajar dengan bidang ABCD. Besar sudut yang dibentuk oleh garis g dengan bidang ABCD adalah sudut yang dibentuk oleh garis g dengan garis proyeksinya yaitu sebesar β. Jadi, sudut antara garis dan bidang adalah sudut lancip yang dibentuk oleh garis tersebut dengan proyeksinya pada bidang.

Nah untuk memantapkan pemahaman Anda mengenai besar sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang dalam bangun ruang dimensi tiga silahkan perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh Soal Dimensi Tiga  
Latihan 1  

Geometri " Dimensi Tiga "

SUDUT DALAM RUANG DIMENSI TIGA

Menara pisa di Italia terkenal sebagai menara miring dan setiap tahun derajat kemiringannya selalu bertambah. Tahukah Anda, bagaimana cara mengukur sudut kemiringan itu? Pelajari terlebih dahulu subbab ini, maka Anda dapat membayangkan bagaimana cara pengukurannya secara matematis hanya menggunakan pita meter yang sederhana.
1. Sudut antara Dua Garis  Download 
2. Sudut antara Garis dan Bidang  Download 
    Latihan 
3. Sudut antara Dua Bidang  Download
    Latihan  

Contoh Soal

Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini. 

 

Diketahui panjang rusuk kubus di atas 4 cm, titik P berada di tengah rusuk AB dan titik Q berada di tengah rusuk BC. Jika titik potong garis BD dengan garis PQ adalah R. (a) Hitunglah besar sudut yang dibentuk oleh garis DR dengan bidang HPQ dan hitunglah besar sudut yang dibentuk oleh garis HR dengan bidangn FPQ!

Penyelesaian:
(a) Perhatikan gambar di bawah ini.

 

Perhatikan garis DR dan bidang HPQ! Besar sudut yang dibentuk oleh garis DR dengan bidang HPQ adalah α.

Cari panjang PQ dengan teorema phytagoras:

PQ = √(BP2 + BQ2)

PQ = √(22 + 22)

PQ = √(4 + 4)

PQ = 2√2 cm

Cari panjang BR dengan teorema Phytagoras juga dengan siku-siku di R, di mana PR = ½ PQ = √2 cm, maka:

BR = √(BP2 – PR2)

BR = √(22 – (√2)2)

BR = √(4 – 2)

BR = √2 cm

Cari panjang BD dengan rumus diagonal bidang kubus yakni:

BD = s√2

BD = 4√2 cm

Cari panjang DR

DR = BD – BR

DR = 4√2 cm –√2 cm

DR = 3√2 cm

tan α = DH/DR

tan α = 4 cm/(3√2 cm)

tan α = 4√2/6

tan α = 2√2/3

arc tan 2√2/3 = 43,31°

Jadi besar sudut yang dibentuk oleh garis DR dengan bidang HPQ adalah 43,31°.

(b) Perhatikan gambar di bawah ini.

Perhatikan garis HR dan bidang FPQ! Besar sudut yang dibentuk oleh garis DR dengan bidang HPQ adalah β.

Cari panjang PQ dengan teorema phytagoras:

PQ = √(BP2 + BQ2)

PQ = √(22 + 22)

PQ = √(4 + 4)

PQ = 2√2 cm

Cari panjang BR dengan teorema Phytagoras juga dengan siku-siku di R, di mana PR = ½ PQ = √2 cm, maka:

BR = √(BP2 – PR2)

BR = √(22 – (√2)2)

BR = √(4 – 2)

BR = √2 cm

Cari panjang FR, yakni:

FR = √(BR2 + BF2)

FR = √((√2)2 + 42)

FR = √18

FR = 3√2 cm

Cari panjang BD dengan rumus diagonal bidang kubus yakni:

BD = s√2

BD = 4√2 cm

Cari panjang DR

DR = BD – BR

DR = 4√2 cm –√2 cm

DR = 3√2 cm

Cari panjang HR dengan teorema phytagoras juga yakni:

HR = √(DH2 + DR2)

HR = √(42 + (3√2)2)

HR = √34 cm

Cari besar ∠β dengan aturan cosinus yakni:

FH2 = HR2 + FR2 – 2.HR.FR.cos β

42 = (√34)2 + (3√2)2 – 2.√34.3√2. cos β

16 = 34 + 18 – 6√68. cos β

16 = 52 – 12√17. cos β

12√17. cos β = 52 – 16

12√17. cos β = 36

cos β = 36/(12√17)

cos β = 3/√17

cos β = 3√17/17

arc cos 3√17/17 = 36,04°

Jadi, besar sudut yang dibentuk oleh garis HR dengan bidangn FPQ adalah 36,04°

Demikianlah tentang cara menentukan besar sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang pada bangun ruang dimensi tiga